ALJABAR

 

1. Pertidaksamaan Kuadrat

• Bentuk Umum: $ax^2 + bx + c > 0$ atau $ax^2 + bx + c < 0$

• Langkah Penyelesaian:

  • Tentukan diskriminan $\Delta = b^2 - 4ac$.
  • Jika $\Delta > 0$, ada dua akar real yang berbeda.
  • Jika $\Delta = 0$, ada satu akar real.
  • Jika $\Delta < 0$, tidak ada akar real.

• Penyelesaian Pertidaksamaan:

  • Tentukan akar-akar persamaan kuadrat terlebih dahulu, kemudian analisis tanda dari setiap interval yang terbentuk oleh akar-akar tersebut.

2. Persamaan Kuadrat

• Bentuk Umum: $ax^2 + bx + c = 0$
• Penyelesaian:
  • Menggunakan rumus kuadrat: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
  • Atau dengan faktorisasi, jika memungkinkan.

3. Sistem Persamaan Linier

• Metode Penyelesaian:
  • Substitusi: Mengganti salah satu variabel dari salah satu persamaan ke dalam persamaan lainnya.
  • Eliminasi: Menjumlahkan atau mengurangi persamaan untuk mengeliminasi satu variabel.
  • Metode Matriks: Menggunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linier.

4. Fungsi Kuadrat

• Bentuk Umum: $f(x) = ax^2 + bx + c$
• Titik Puncak: $$x = -\frac{b}{2a}, \quad y = f\left(-\frac{b}{2a}\right)$$
• Grafik: Parabola, jika $a > 0$ terbuka ke atas, jika $a < 0$ terbuka ke bawah.

5. Logaritma

• Definisi: $$\log_b x = y \quad \text{jika dan hanya jika} \quad b^y = x$$
• Sifat-sifat logaritma:
  • $\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y$
  • $\log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b x - \log_b y$
  • $\log_b (x^n) = n \log_b x$
  • $\log_b b = 1$, $\log_b 1 = 0$

6. Barisan dan Deret

• Barisan Aritmetika:
  • Rumus suku ke-n: $$u_n = u_1 + (n-1) \cdot r$$
  • Rumus jumlah n suku pertama: $$S_n = \frac{n}{2} \cdot (2u_1 + (n-1)r)$$
• Barisan Geometri:
  • Rumus suku ke-n: $$u_n = u_1 \cdot r^{n-1}$$
  • Rumus jumlah n suku pertama: $$S_n = \frac{u_1 (1 - r^n)}{1 - r} \quad \text{(untuk } r \neq 1\text{)}$$

7. Polinom

• Bentuk Umum: $$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$$
• Teorema Sisa:
  Jika $P(x)$ dibagi dengan $x - c$, maka sisanya adalah $P(c)$.
• Faktor Polinom:
  Jika $c$ adalah akar polinom, maka $x - c$ adalah faktor dari polinom.

---

Ini adalah rangkuman materi aljabar untuk kelas 12 SMA. Jika membutuhkan penjelasan lebih lanjut atau contoh soal, silakan ditanyakan!