INTEGRAL

 

Berikut adalah materi singkat tentang Integral untuk kelas 12 SMA:

1. Pengertian Integral

Integral adalah operasi matematika yang berhubungan dengan penjumlahan tak terhingga dari suatu fungsi. Dalam kalkulus, integral sering digunakan untuk menghitung luas daerah di bawah kurva atau panjang lintasan suatu objek.

Ada dua jenis integral utama:

• Integral tak tentu (antiderivatif): Menemukan fungsi yang memiliki turunan tertentu.
• Integral tentu: Menghitung luas atau volume dengan batasan tertentu.

2. Integral Tak Tentu

Integral tak tentu adalah proses mencari fungsi yang jika diturunkan menghasilkan fungsi yang diberikan. Bentuk umum integral tak tentu adalah:

$$\int f(x) \, dx = F(x) + C$$

Dimana:

• $f(x)$ adalah fungsi yang akan diintegralkan,
• $F(x)$ adalah hasil integral atau antiderivatif dari $f(x)$,
• $C$ adalah konstanta integrasi yang ditambahkan karena turunan dari suatu konstanta adalah 0.

Contoh:

$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{(untuk } n \neq -1\text{)}$$

Jika $n = -1$, maka:

$$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C$$

3. Aturan Dasar Integral Tak Tentu

• Integral dari konstanta: $$\int a \, dx = ax + C$$
• Integral dari $x^n$ (untuk $n \neq -1$): $$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$
• Integral dari eksponensial: $$\int e^x \, dx = e^x + C$$
• Integral dari fungsi trigonometri: $$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$$ $$\int \cos x \, dx = \sin x + C$$

4. Integral Tentu

Integral tentu digunakan untuk menghitung luas atau area di bawah kurva $y = f(x)$ antara dua titik $a$ dan $b$. Bentuk umum integral tentu adalah:

$$\int_a^b f(x) \, dx$$

Dimana:

• $a$ dan $b$ adalah batas bawah dan batas atas integral,
• $f(x)$ adalah fungsi yang akan diintegralkan.

Definisi: Integral tentu dihitung dengan cara:

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

Dimana $F(x)$ adalah hasil integral tak tentu dari $f(x)$.

Contoh: Menghitung luas daerah di bawah kurva $y = x^2$ dari $x = 0$ hingga $x = 2$:

$$\int_0^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}$$

5. Sifat-sifat Integral

• Linearitas:

  $$\int (a f(x) + b g(x)) \, dx = a \int f(x) \, dx + b \int g(x) \, dx$$

  Dimana $a$ dan $b$ adalah konstanta.

• Integral dari jumlah:

  $$\int_a^b (f(x) + g(x)) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx$$

• Perubahan batas integral:

  $$\int_a^b f(x) \, dx = - \int_b^a f(x) \, dx$$

6. Aplikasi Integral

Integral sering digunakan dalam berbagai aplikasi matematika dan fisika, seperti:

• Menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu x.
• Menghitung volume benda yang diputar menggunakan metode cakram atau cincin (integral berputar).
• Menghitung panjang busur dari suatu kurva.

7. Contoh Soal Integral Tak Tentu

• Soal 1: $$\int 3x^2 \, dx = \frac{3x^3}{3} + C = x^3 + C$$
• Soal 2: $$\int 4 \, dx = 4x + C$$
• Soal 3: $$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$$

8. Contoh Soal Integral Tentu

• Soal 1:
  Hitunglah integral dari $x^2$ dari $x = 1$ hingga $x = 3$.

  $$\int_1^3 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$$

• Soal 2:
  Hitunglah integral dari $2x + 1$ dari $x = 0$ hingga $x = 4$.

  $$\int_0^4 (2x + 1) \, dx = \left[ x^2 + x \right]_0^4 = (4^2 + 4) - (0^2 + 0) = 16 + 4 = 20$$

---

Ini adalah rangkuman materi tentang Integral untuk kelas 2 SMA. Jika ada yang kurang jelas atau membutuhkan contoh tambahan, silakan ditanyakan!