Persamaan Lingkaran

 Persamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran 

1. Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang memiliki jarak yang sama dari suatu titik pusat. Pusat lingkaran biasanya dilambangkan dengan $O(h, k)$, dan jari-jari lingkaran dilambangkan dengan $r$.

---

2. Persamaan Umum Lingkaran

Bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat $O(h, k)$ dan jari-jari $r$ adalah:

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

Di sini:

• $(h, k)$ adalah koordinat pusat lingkaran
• $r$ adalah panjang jari-jari lingkaran
• $(x, y)$ adalah sembarang titik di lingkaran

---

3. Persamaan Lingkaran dalam Bentuk Standar

Jika pusat lingkaran berada di titik asal $O(0, 0)$, maka persamaan lingkaran menjadi:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

---

4. Persamaan Lingkaran dalam Bentuk Umum

Jika persamaan lingkaran diberikan dalam bentuk umum, yaitu:

$$Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0$$

Dengan $A = B$ dan $A, B \neq 0$, maka persamaan tersebut bisa diubah menjadi bentuk standar dengan cara menyelesaikan kuadrat lengkap.

---

5. Menghitung Jari-Jari dan Pusat Lingkaran

Dari persamaan umum lingkaran:

$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$

Pusat lingkaran dapat dicari dengan rumus:
Pusat $(h, k) = \left( \frac{-D}{2}, \frac{-E}{2} \right)$

Jari-jari lingkaran dapat dicari dengan rumus:
Jari-jari $r = \sqrt{\left( \frac{D^2 + E^2}{4} - F \right)}$

---

6. Contoh Soal dan Penyelesaian

Soal:
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang persamaannya adalah:

$$x^2 + y^2 - 6x + 8y - 9 = 0$$

Penyelesaian:

1. Ubah persamaan ke bentuk standar dengan melengkapi kuadrat.

$$x^2 - 6x + y^2 + 8y = 9$$

2. Melengkapi kuadrat untuk $x$ dan $y$:

   • $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$
   • $y^2 + 8y = (y + 4)^2 - 16$

3. Persamaan menjadi:

$$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 36$$

4. Dapatkan pusat dan jari-jari:
   • Pusat $(h, k) = (3, -4)$
   • Jari-jari $r = 6$

Jawaban: Pusat $(3, -4)$, jari-jari $r = 6$

---