Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

 SPLTV

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

1. Pengertian SPLTV

SPLTV adalah sistem persamaan yang terdiri dari tiga persamaan linear dengan tiga variabel. Bentuk umumnya:

$$a_1x + b_1y + c_1z = d_1$$ $$a_2x + b_2y + c_2z = d_2$$ $$a_3x + b_3y + c_3z = d_3$$

dengan $x, y, z$ sebagai variabel dan $a, b, c, d$ sebagai konstanta.

---

2. Metode Penyelesaian SPLTV

• Metode Substitusi

  1. Pilih satu persamaan, nyatakan satu variabel dalam bentuk dua variabel lainnya.
  2. Substitusi ke dua persamaan lainnya hingga tersisa SPLDV.
  3. Selesaikan SPLDV dan substitusi kembali untuk mencari variabel terakhir.

• Metode Eliminasi

  1. Eliminasi salah satu variabel hingga tersisa SPLDV.
  2. Selesaikan SPLDV dengan eliminasi atau substitusi.
  3. Substitusi nilai yang diperoleh ke persamaan awal untuk mendapatkan variabel terakhir.

• Metode Determinan (Metode Matriks)

  1. Tuliskan dalam bentuk matriks $AX = B$.
  2. Cari determinan matriks $A$ dan gunakan aturan Cramer.

---

3. Contoh Soal dan Penyelesaian

Soal:
Selesaikan sistem persamaan berikut:

$$x + y + z = 6$$ $$2x - y + z = 3$$ $$x + 2y - z = 4$$

Penyelesaian dengan Eliminasi:

1. Eliminasi $z$ dari persamaan (1) dan (2):

   $$(x + y + z) - (2x - y + z) = 6 - 3$$ $$-x + 2y = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 2y - 3$$

2. Eliminasi $z$ dari persamaan (1) dan (3):

   $$(x + y + z) - (x + 2y - z) = 6 - 4$$ $$-y + 2z = 2 \quad \Rightarrow \quad z = \frac{2 + y}{2}$$

3. Substitusikan nilai $x$ dan $z$ ke salah satu persamaan untuk mencari $y$.

---