Induksi Matematika

 Induksi Matematika

Induksi Matematika

1. Pengertian

Induksi matematika adalah metode pembuktian yang digunakan untuk menunjukkan bahwa suatu pernyataan berlaku untuk semua bilangan asli ($n$).

2. Langkah-Langkah Induksi Matematika

1. Basis (Langkah Awal):

   • Buktikan bahwa pernyataan benar untuk $n = 1$ atau nilai awal lainnya.

2. Hipotesis Induksi:

   • Misalkan pernyataan benar untuk $n = k$, yaitu asumsi bahwa: $$P(k) \text{ benar}$$

3. Langkah Induksi:

   • Buktikan bahwa jika pernyataan benar untuk $n = k$, maka juga benar untuk $n = k+1$.
   • Tunjukkan bahwa $P(k) \Rightarrow P(k+1)$.

Jika semua langkah ini terpenuhi, maka pernyataan berlaku untuk semua $n \geq 1$.

---

3. Contoh Soal

Buktikan bahwa jumlah deret aritmetika berikut berlaku untuk semua $n$:

$$1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$$

Penyelesaian:

1. Basis (untuk $n = 1$):

   $$1 = \frac{1(1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

   ✅ Benar.

2. Hipotesis Induksi:
   Misalkan untuk $n = k$:

   $$1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{k(k+1)}{2}$$

3. Langkah Induksi:
   Untuk $n = k+1$, kita tambahkan $(k+1)$ ke kedua sisi:

   $$1 + 2 + ... + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)$$ $$= \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2}$$ $$= \frac{(k+1)(k+2)}{2}$$

   ✅ Sama dengan rumus yang ingin dibuktikan, sehingga terbukti benar.

---

4. Kesimpulan

Induksi matematika digunakan untuk membuktikan rumus atau pernyataan yang berlaku untuk semua bilangan asli. Dengan tiga langkah utama (basis, hipotesis, dan langkah induksi), kita bisa memastikan keabsahan suatu pernyataan secara umum.

---