Persamaan Kuadrat

 Persamaan Kuadrat

Persamaan Kuadrat 

1. Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial derajat dua yang berbentuk:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

dengan $a, b, c$ adalah konstanta dan $a \neq 0$.

---

2. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dapat ditulis dalam bentuk umum:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

• a: Koefisien dari $x^2$
• b: Koefisien dari $x$
• c: Konstanta

---

3. Bentuk Faktorisasi

Jika persamaan kuadrat dapat difaktorkan, maka bentuknya adalah:

$$a(x - p)(x - q) = 0$$

Dimana $p$ dan $q$ adalah akar-akar persamaan kuadrat.

---

4. Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Ada beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat:

• Metode Pemfaktoran
  Jika persamaan kuadrat dapat difaktorkan, faktor-faktor dari persamaan tersebut adalah akar-akarnya. Contoh:

  $$x^2 - 5x + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x - 2)(x - 3) = 0$$

  Akar-akar: $x = 2$ dan $x = 3$.

• Metode Melengkapkan Kuadrat
  Menyusun persamaan dalam bentuk kuadrat sempurna, kemudian diselesaikan.
  Contoh:

  $$x^2 + 6x = 7$$

  Tambahkan $9$ ke kedua sisi persamaan untuk melengkapkan kuadrat:

  $$x^2 + 6x + 9 = 7 + 9 \quad \Rightarrow \quad (x + 3)^2 = 16$$

  Akar-akar: $x + 3 = \pm 4$, sehingga $x = 1$ atau $x = -7$.

• Metode Rumus Kuadrat
  Rumus kuadrat digunakan jika persamaan tidak mudah difaktorkan:

  $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
  • $\Delta = b^2 - 4ac$ adalah diskriminan.
  • Jika $\Delta > 0$, ada dua akar nyata.
  • Jika $\Delta = 0$, ada satu akar nyata.
  • Jika $\Delta < 0$, tidak ada akar nyata (akar imajiner).

---

5. Sifat-Sifat Persamaan Kuadrat

• Diskriminan (Δ):
  $\Delta = b^2 - 4ac$

  • $\Delta > 0$: Dua akar real berbeda.
  • $\Delta = 0$: Satu akar real.
  • $\Delta < 0$: Tidak ada akar real (akar imajiner).

• Akar-akar Persamaan Kuadrat
  Jika akar-akarnya $p$ dan $q$, maka:

  • Jumlah akar $p + q = -\frac{b}{a}$
  • Hasil kali akar $p \cdot q = \frac{c}{a}$

---

6. Contoh Soal dan Penyelesaian

Soal:
Selesaikan persamaan kuadrat:

$$x^2 - 4x - 5 = 0$$

Penyelesaian dengan Rumus Kuadrat:
Diketahui: $a = 1$, $b = -4$, $c = -5$
Hitung diskriminan $\Delta$:

$$\Delta = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36$$

Karena $\Delta > 0$, ada dua akar real.
Gunakan rumus kuadrat:

$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{4 \pm 6}{2}$$

Akar-akarnya:

$$x = \frac{4 + 6}{2} = 5 \quad \text{atau} \quad x = \frac{4 - 6}{2} = -1$$

Jawaban: $x = 5$ dan $x = -1$.

---