Bilangan Kompleks

 Bilangan Kompleks

Bilangan Kompleks

1. Pengertian Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:

$$z = a + bi$$

di mana:

• $a$ = bagian real
• $b$ = bagian imajiner
• $i$ adalah bilangan imajiner dengan $i^2 = -1$.

---

2. Operasi Bilangan Kompleks

• Penjumlahan & Pengurangan: $$(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$$
• Perkalian: $$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2$$ $$= (ac - bd) + (ad + bc)i$$ (karena $i^2 = -1$).
• Pembagian:
  Gunakan bentuk sekawan $c - di$: $$\frac{a+bi}{c+di} \times \frac{c-di}{c-di}$$

---

3. Bentuk Polar & Eksponensial

• Bentuk Polar: $$z = r (\cos \theta + i \sin \theta)$$ dengan $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ dan $\theta = \tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\right)$.
• Bentuk Eksponensial (Euler): $$z = r e^{i\theta}$$

---

4. Teorema De Moivre

Digunakan untuk perpangkatan dan akar bilangan kompleks:

$$(z^n) = r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta)$$

---

5. Contoh Soal

Soal: Hitung hasil dari $(1 + i)(2 - 3i)$.

Jawaban:

$$(1 + i)(2 - 3i) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-3i) + i \cdot 2 + i \cdot (-3i)$$ $$= 2 - 3i + 2i - 3i^2$$ $$= 2 - i + 3 = 5 - i$$

---