TRIK CEPAT PERSAMAAN KUADRAT

Beberapa trik cepat untuk menyelesaikan soal persamaan kuadrat :

1. Menemukan Akar dengan Cepat

Persamaan kuadrat berbentuk:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

Gunakan rumus akar:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

📌 Trik Cepat

• Jika $a = 1$, cari dua angka yang jumlahnya $b$ dan kaliannya $c$.
  Contoh:
  $x^2 - 5x + 6 = 0$
  → Cari angka yang jumlahnya -5 dan kaliannya 6 → ( -2 dan -3 )
  → Akar: $x = 2$ atau $x = 3$

2. Menentukan Jenis Akar Tanpa Hitung Akar

Gunakan diskriminan:

$$D = b^2 - 4ac$$

• D > 0 → Akar real & berbeda
• D = 0 → Akar real & kembar
• D < 0 → Akar imajiner (nggak punya solusi di bilangan real)

3. Menentukan Jumlah & Hasil Kali Akar Tanpa Cari Akar

• Jumlah akar: $$S = -\frac{b}{a}$$
• Hasil kali akar: $$P = \frac{c}{a}$$

Contoh:
$2x^2 - 7x + 3 = 0$

• Jumlah akar: $S = -\frac{-7}{2} = \frac{7}{2}$
• Hasil kali akar: $P = \frac{3}{2}$

4. Cepat Menentukan Persamaan Kuadrat dari Akar

Jika diketahui akar $p$ dan $q$, langsung buat:

$$x^2 - (p+q)x + pq = 0$$

Contoh: Akar 4 dan -3 →

$$x^2 - (4 + (-3))x + (4 \times -3) = x^2 - x - 12 = 0$$

5. Selesaikan dengan Rumus ABC Jika Sulit

Kalau nggak bisa difaktorkan, pakai rumus kuadratik:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Tapi trik ini lebih lambat dibanding coba faktorkan dulu.

Kalau ada soal yang mau dikerjain, bisa kasih contoh, nanti aku bantu! 🚀

Suku Banyak

 Suku Banyak

Suku Banyak (Polinom) 

1. Pengertian Suku Banyak (Polinom)

Suku banyak (polinom) adalah ekspresi matematika yang terdiri dari jumlah suku-suku yang memiliki variabel berpangkat bulat non-negatif. Bentuk umum suku banyak adalah:

$$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$$

Dimana:

• $a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0$ adalah koefisien-konstanta.
• $n$ adalah pangkat tertinggi variabel $x$, yang disebut derajat polinom.
• Derajat polinom adalah bilangan bulat non-negatif terbesar pada variabel $x$.

2. Jenis-jenis Suku Banyak

• Polinom Tak Tentu (Polinom Umum): Polinom yang terdiri dari lebih dari satu suku.
• Polinom Satu Suku (Monomial): Polinom yang hanya memiliki satu suku, contoh: $3x^2$, $-5y$.
• Polinom Dua Suku (Binomial): Polinom yang terdiri dari dua suku, contoh: $x + 3$, $2x - 5$.
• Polinom Tiga Suku (Trinomial): Polinom yang terdiri dari tiga suku, contoh: $x^2 + 4x + 3$.

3. Operasi pada Polinom

• Penjumlahan dan Pengurangan:

  • Gabungkan suku-suku dengan variabel yang sama derajatnya.
  • Contoh: $$(2x^2 + 3x - 1) + (x^2 - x + 4) = 3x^2 + 2x + 3$$

• Perkalian Polinom:

  • Kalikan setiap suku dalam satu polinom dengan setiap suku dalam polinom lainnya.
  • Contoh: $$(x + 1)(x^2 - 2x + 3) = x(x^2 - 2x + 3) + 1(x^2 - 2x + 3) = x^3 - 2x^2 + 3x + x^2 - 2x + 3 = x^3 - x^2 + x + 3$$

• Pembagian Polinom:

  • Pembagian polinom dilakukan dengan metode pembagian panjang atau pembagian sintetis.

4. Faktor dan Hasil Faktorisasi

• Faktor Polinom:
  Polinom dapat difaktorkan jika polinom tersebut dapat dibagi dengan faktor tertentu.
  Contoh:

  $$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$

• Teorema Faktor:
  Jika $P(x)$ adalah polinom dan $x = r$ adalah akar dari polinom tersebut, maka $(x - r)$ adalah faktor dari $P(x)$.

5. Akar-akar Polinom

• Akar-akar polinom adalah nilai-nilai $x$ yang membuat polinom bernilai 0.
  Misalnya, untuk $P(x) = x^2 - 5x + 6$, akar-akarnya adalah $x = 2$ dan $x = 3$.

6. Teorema Sisa

Jika polinom $P(x)$ dibagi dengan $x - c$, maka sisa dari pembagian tersebut adalah $P(c)$.

---

Persamaan Kuadrat

 Persamaan Kuadrat

Persamaan Kuadrat 

1. Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial derajat dua yang berbentuk:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

dengan $a, b, c$ adalah konstanta dan $a \neq 0$.

---

2. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dapat ditulis dalam bentuk umum:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

• a: Koefisien dari $x^2$
• b: Koefisien dari $x$
• c: Konstanta

---

3. Bentuk Faktorisasi

Jika persamaan kuadrat dapat difaktorkan, maka bentuknya adalah:

$$a(x - p)(x - q) = 0$$

Dimana $p$ dan $q$ adalah akar-akar persamaan kuadrat.

---

4. Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Ada beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat:

• Metode Pemfaktoran
  Jika persamaan kuadrat dapat difaktorkan, faktor-faktor dari persamaan tersebut adalah akar-akarnya. Contoh:

  $$x^2 - 5x + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x - 2)(x - 3) = 0$$

  Akar-akar: $x = 2$ dan $x = 3$.

• Metode Melengkapkan Kuadrat
  Menyusun persamaan dalam bentuk kuadrat sempurna, kemudian diselesaikan.
  Contoh:

  $$x^2 + 6x = 7$$

  Tambahkan $9$ ke kedua sisi persamaan untuk melengkapkan kuadrat:

  $$x^2 + 6x + 9 = 7 + 9 \quad \Rightarrow \quad (x + 3)^2 = 16$$

  Akar-akar: $x + 3 = \pm 4$, sehingga $x = 1$ atau $x = -7$.

• Metode Rumus Kuadrat
  Rumus kuadrat digunakan jika persamaan tidak mudah difaktorkan:

  $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
  • $\Delta = b^2 - 4ac$ adalah diskriminan.
  • Jika $\Delta > 0$, ada dua akar nyata.
  • Jika $\Delta = 0$, ada satu akar nyata.
  • Jika $\Delta < 0$, tidak ada akar nyata (akar imajiner).

---

5. Sifat-Sifat Persamaan Kuadrat

• Diskriminan (Δ):
  $\Delta = b^2 - 4ac$

  • $\Delta > 0$: Dua akar real berbeda.
  • $\Delta = 0$: Satu akar real.
  • $\Delta < 0$: Tidak ada akar real (akar imajiner).

• Akar-akar Persamaan Kuadrat
  Jika akar-akarnya $p$ dan $q$, maka:

  • Jumlah akar $p + q = -\frac{b}{a}$
  • Hasil kali akar $p \cdot q = \frac{c}{a}$

---

6. Contoh Soal dan Penyelesaian

Soal:
Selesaikan persamaan kuadrat:

$$x^2 - 4x - 5 = 0$$

Penyelesaian dengan Rumus Kuadrat:
Diketahui: $a = 1$, $b = -4$, $c = -5$
Hitung diskriminan $\Delta$:

$$\Delta = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36$$

Karena $\Delta > 0$, ada dua akar real.
Gunakan rumus kuadrat:

$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{4 \pm 6}{2}$$

Akar-akarnya:

$$x = \frac{4 + 6}{2} = 5 \quad \text{atau} \quad x = \frac{4 - 6}{2} = -1$$

Jawaban: $x = 5$ dan $x = -1$.

---

Persamaan Lingkaran

 Persamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran 

1. Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang memiliki jarak yang sama dari suatu titik pusat. Pusat lingkaran biasanya dilambangkan dengan $O(h, k)$, dan jari-jari lingkaran dilambangkan dengan $r$.

---

2. Persamaan Umum Lingkaran

Bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat $O(h, k)$ dan jari-jari $r$ adalah:

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

Di sini:

• $(h, k)$ adalah koordinat pusat lingkaran
• $r$ adalah panjang jari-jari lingkaran
• $(x, y)$ adalah sembarang titik di lingkaran

---

3. Persamaan Lingkaran dalam Bentuk Standar

Jika pusat lingkaran berada di titik asal $O(0, 0)$, maka persamaan lingkaran menjadi:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

---

4. Persamaan Lingkaran dalam Bentuk Umum

Jika persamaan lingkaran diberikan dalam bentuk umum, yaitu:

$$Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0$$

Dengan $A = B$ dan $A, B \neq 0$, maka persamaan tersebut bisa diubah menjadi bentuk standar dengan cara menyelesaikan kuadrat lengkap.

---

5. Menghitung Jari-Jari dan Pusat Lingkaran

Dari persamaan umum lingkaran:

$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$

Pusat lingkaran dapat dicari dengan rumus:
Pusat $(h, k) = \left( \frac{-D}{2}, \frac{-E}{2} \right)$

Jari-jari lingkaran dapat dicari dengan rumus:
Jari-jari $r = \sqrt{\left( \frac{D^2 + E^2}{4} - F \right)}$

---

6. Contoh Soal dan Penyelesaian

Soal:
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang persamaannya adalah:

$$x^2 + y^2 - 6x + 8y - 9 = 0$$

Penyelesaian:

1. Ubah persamaan ke bentuk standar dengan melengkapi kuadrat.

$$x^2 - 6x + y^2 + 8y = 9$$

2. Melengkapi kuadrat untuk $x$ dan $y$:

   • $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$
   • $y^2 + 8y = (y + 4)^2 - 16$

3. Persamaan menjadi:

$$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 36$$

4. Dapatkan pusat dan jari-jari:
   • Pusat $(h, k) = (3, -4)$
   • Jari-jari $r = 6$

Jawaban: Pusat $(3, -4)$, jari-jari $r = 6$

---

KPK dan FPB

 

KPK dan FPB

KPK dan FPB Kelas 12 SMA

1. Pengertian KPK dan FPB

• FPB (Faktor Persekutuan Terbesar):
  FPB dari dua atau lebih bilangan adalah bilangan terbesar yang dapat membagi habis bilangan-bilangan tersebut.
  Contoh:
  FPB(12, 18) = 6

• KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil):
  KPK dari dua atau lebih bilangan adalah bilangan terkecil yang dapat dibagi oleh bilangan-bilangan tersebut.
  Contoh:
  KPK(12, 18) = 36

2. Cara Menentukan FPB dan KPK

• Metode Faktor Prima

  1. FPB: Faktor-faktor prima dari masing-masing bilangan dicari, lalu ambil faktor yang sama dengan pangkat terkecil.
     • Contoh:
       FPB(12, 18)
       Faktorisasi:
       12 = $2^2 \times 3$
       18 = $2 \times 3^2$
       FPB = $2^1 \times 3^1 = 6$
  2. KPK: Faktor-faktor prima dari masing-masing bilangan dicari, lalu ambil faktor yang sama dengan pangkat terbesar.
     • Contoh:
       KPK(12, 18)
       KPK = $2^2 \times 3^2 = 36$

• Metode Pembagian Berulang

  1. FPB: Bagikan kedua bilangan dengan angka yang sama sampai hasilnya tidak dapat dibagi lagi.
  2. KPK: Kalikan kedua bilangan dengan hasil pembagian untuk mendapatkan KPK.

3. Sifat-Sifat FPB dan KPK

• Sifat FPB:
  • FPB(a, b) = FPB(b, a)
  • FPB(a, b, c) = FPB(FPB(a, b), c)
  • FPB dari dua bilangan adalah bilangan terbesar yang membagi habis kedua bilangan tersebut.
• Sifat KPK:
  • KPK(a, b) = KPK(b, a)
  • KPK(a, b, c) = KPK(KPK(a, b), c)
  • KPK dari dua bilangan adalah bilangan terkecil yang dapat dibagi oleh kedua bilangan tersebut.

4. Contoh Soal

Soal 1: Tentukan FPB dan KPK dari 15 dan 25.

Penyelesaian:

• Faktor prima dari 15: $15 = 3 \times 5$
• Faktor prima dari 25: $25 = 5^2$

FPB = ambil faktor yang sama dengan pangkat terkecil, yaitu $5$.
KPK = ambil faktor yang sama dengan pangkat terbesar, yaitu $3 \times 5^2 = 75$.

Jawaban:
FPB(15, 25) = 5
KPK(15, 25) = 75

---

Relasi dan Fungsi

 Relasi dan Fungsi

Relasi dan Fungsi

1. Pengertian Relasi

Relasi adalah hubungan antara anggota dua himpunan. Jika ada himpunan $A$ dan $B$, maka relasi dari $A$ ke $B$ adalah aturan yang menghubungkan anggota $A$ dengan anggota $B$.

• Cara Menyatakan Relasi:

  • Diagram panah
  • Himpunan pasangan berurutan
  • Diagram Cartesius
  • Notasi matematis

• Jenis Relasi:

  1. Relasi satu-satu → Setiap anggota $A$ berpasangan dengan satu anggota $B$.
  2. Relasi banyak-satu → Beberapa anggota $A$ berpasangan dengan satu anggota $B$.
  3. Relasi satu-banyak → Satu anggota $A$ berpasangan dengan beberapa anggota $B$.

---

2. Pengertian Fungsi

Fungsi (pemetaan) adalah relasi khusus yang setiap anggota domain (himpunan asal) memiliki tepat satu pasangan di kodomain (himpunan tujuan).

• Notasi Fungsi:

  $$f: A \to B$$

  dengan aturan $f(x) = y$.

• Jenis Fungsi:

  1. Fungsi Injektif (Satu-satu): Setiap anggota di domain memiliki pasangan unik di kodomain.
  2. Fungsi Surjektif (Onto): Setiap anggota di kodomain memiliki minimal satu pasangan di domain.
  3. Fungsi Bijektif: Gabungan injektif dan surjektif (satu-satu dan onto).

---

3. Fungsi Komposisi dan Invers

• Fungsi Komposisi
  Jika ada dua fungsi $f(x)$ dan $g(x)$, maka komposisi fungsi dinotasikan sebagai:

  $$(f \circ g)(x) = f(g(x))$$

• Fungsi Invers
  Jika $f(x)$ adalah fungsi bijektif, maka fungsi inversnya adalah:

  $$f^{-1}(x)$$

  Cara mencari invers:

  1. Ganti $f(x) = y$.
  2. Ubah bentuk menjadi $x = g(y)$.
  3. Tukar $x$ dan $y$ sehingga $y = f^{-1}(x)$.

---

Perbandingan

 Perbandingan

Perbandingan 

1. Pengertian Perbandingan

Perbandingan adalah perbandingan dua atau lebih nilai yang menunjukkan hubungan antar kuantitas. Ditulis dalam bentuk:

$$a : b \quad \text{atau} \quad \frac{a}{b}$$

---

2. Jenis-Jenis Perbandingan

a) Perbandingan Senilai

• Jika satu nilai bertambah, nilai lainnya juga bertambah.
• Rumus: $$\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}$$
• Contoh: Kecepatan tetap → waktu dan jarak berbanding lurus.

b) Perbandingan Berbalik Nilai

• Jika satu nilai bertambah, nilai lainnya berkurang.
• Rumus: $$x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2$$
• Contoh: Jumlah pekerja bertambah → waktu kerja berkurang.

---

3. Perbandingan Bertingkat

• Perbandingan yang melibatkan tiga variabel atau lebih.
• Diselesaikan dengan menyamakan salah satu nilai sebagai perantara.

Contoh:
Jika $A : B = 2 : 3$ dan $B : C = 4 : 5$, maka:

$$A : B : C = 8 : 12 : 15$$

---

4. Penerapan Perbandingan

• Kecepatan, jarak, dan waktu: $$S = V \times t$$
• Skala peta: $$\text{Skala} = \frac{\text{jarak pada peta}}{\text{jarak sebenarnya}}$$
• Perbandingan keuangan (diskon, keuntungan, dll).

---

5. Contoh Soal

Soal: Jika 4 pekerja menyelesaikan pekerjaan dalam 12 hari, berapa hari yang dibutuhkan oleh 6 pekerja?

Jawaban:
Karena perbandingan berbalik nilai:

$$4 \times 12 = 6 \times x$$ $$x = \frac{4 \times 12}{6} = 8 \text{ hari}$$

---